速算技巧¶

加法¶

尾数法：选项最后几位不同，就求几位。
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【例】 “6914 + 7111 + 7858 = ?”

【解】 * 尾数求一位：\(4+1+8 = 13 \rightarrow \dots 3\)
- 尾数求两位：\(14+11+58 = 83 \rightarrow \dots 83\)
- 尾数求三位：\(914+111+858 \rightarrow\) (技巧：\(14-11-58 = 103-58=45\)，不够减则往前借一位)
高位叠加法：从高位加起，把乘数拆成常见的百分数相乘，再相加。
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【例】 “6914 + 7111 + 7858 = ?”

【解】
- 千位：\(6+7+7 = 20\)
- 百位：\(9+1+8 = 18\)
- 十位：\(1+1+5 = 07\) (不足两位在前面添0，免得加错)
- 个位：\(4+1+8 = 13\)
- 结果：\(21883\) (这些步骤在脑子里想就可以)
削峰填谷法：平均数 = 基准值 + (偏离总和 / 项数)

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【例】 求平均数 “\(76+72+78+72+77+81+69+75+68+71\)”

【解】 以 72 为基准，共 10 个数，\(72 + (4+6+5+9-3+3-4-1) \div 10 = 73.9\)

基准值法：被减数 - 减数 = (被减数 - 基准值) + (基准值 - 减数) > \(764 - 598 = (764 - 600) + (600 - 598) = 164 + 2 = 166\) (基准值为600)
划线减法：
- 12 分段法：\(64-5 \vdots 39=2 \vdots 25\) (64-39 够减了，两位数减法心算)
- 21 分段法：\(72 \vdots 9 - 53 \vdots 4 = 19 \vdots 5\) (29-34 不够减，9-4 够减)

截位相乘法：截 2 位，观察第 3 位。
- 第 3 位 \(\le 2\)，全舍。
  
  【例】 \(271.3 \times 4625 \approx 270 \times 4600\)
- 第 3 位 \(\ge 8\)，全进。
  
  【例】 \(278.3 \times 4695 \approx 280 \times 4700\)
- 第 3 位其他情况（一进一舍）。
  
  【例】 \(276.3 \times 4675 \approx 270 \times 4700\)
小分互换：百分数与分数互换。

【例】 \(1/13 \approx 7.7\% \iff 1/7.7 \approx 13\%\)
- 常见数值记忆：
  - \(50\% = 1/2\) ; \(33.3\% = 1/3\) ; \(25\% = 1/4\) ; \(20\% = 1/5\)
  - \(16.7\% = 1/6\) ; \(14.3\% = 1/7\) ; \(12.5\% = 1/8\) ; \(11.1\% = 1/9\)
  - \(9.1\% = 1/11\) ; \(8.3\% = 1/12\) ; \(7.7\% = 1/13\) ; \(7.1\% = 1/14\)
  - \(6.7\% = 1/15\) ; \(6.25\% = 1/16\) ; \(5.9\% = 1/17\) ; \(5.6\% = 1/18\) ; \(5.3\% = 1/19\)
乘法拆分：把乘数拆成常见的百分数相乘，再相加。

【例】 \(592 \times 97\% = 592 \times (100\% - 3\%) = 592 - 17.76 \approx 592 - 18 = 574\)

截位直除法：
- 截谁：
  - 一步除法：整个式子只有【一个除法】，只截【分母】。
  - 多步除法：整个式子是【乘除混合】运算，同截【分子、分母】。
- 截几位：
  - 不需要四个选项都看，看最接近的两个选项之间的差距。
  - 截 3 位：选项差距【小】（选项首位【相同】，次位差【小于/等于】首位）。
  - 截 2 位：选项差距【大】（选项首位【相同】，次位差【大于】首位 OR 选项首位【不同】）。
  - 选项【量级】不同：选项之间存在近似 10n 倍关系时，截位后要保留量级。
除法拆分：

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【例】 \(\frac{332}{688} = \frac{344-12}{688} = 50\% - 2\%^- = 48\%^+\)

解析：\(688 \times 50\% = 344\)，\(\because 688\) 的 \(1\%\) 是 \(6.88\)，\(\therefore 12\) 不到 \(6.88\) 的 2 倍。
常用分数比较：
- 分子、分母同大同小：纵向用直除，横向看倍数。
- 分子、分母一大一小：直接看，分子大、分数大。

原理：将增长率 R 化成相近的分数 \(a/b\)。
使用步骤：
1. 将增长率 R 化成相近的分数 \(1/n\)。
2. 基期：变化量 = 本期量 / \((n+1)\)。
3. 求得一份量，根据一份量的大小和变化量、基期对应的一份数继续求。

Tip

【例】 本期 \(B=328\)，增长率 \(R=49.8\%\)。

【解】 \(R \approx 1/2\)，则 \(A:X:B = 2:1:3\)，\(X = 328 \div 3 \approx 109\)，\(A = 328 - 109 = 219\)。

【例】 本期 \(B=694\)，增长率 \(R=-33.4\%\)。

【解】 \(R \approx -1/3\)，则 \(A:X:B = 3:-1:2\)，\(X = (694 \div 2) \times (-1) = -347\)，\(A = 694 + 347 = 1041\)。

核心思想：和拆分一样，都是“抓大放小”，将“大数”分完，“小数”有误差也不影响结果了。
步骤：
1. 确定被分配数和增长率。
2. 画出分配树，确定 A 和 X。
3. 最后一步直接根据 \(X \approx B \times R\)，误差可忽略。

适用情况：