数量
数量¶
花生十三·数量笔记总结¶
目录¶
- 数量基础之数论及数的特性
- 和差倍比、不定方程与“朴实无华”的方程法
- “溶质不变”的浓度问题与便捷的十字相乘法
- 古老的“牛吃草”与不变的容斥问题
- 有规律的周期循环与要算准的日期星期
- 熟练掌握可“轻松拿下”的工程问题
- 容易找到等式关系的利润问题
- 既烧脑又能套公式的最值问题
- “逢考必有”的排列组合与概率
- 小学奥数之特殊情景应用题
- 要抓住常考图形的几何问题
- 能“七十二变”的行程问题
- 数字推理
01 数量基础之数论及数的特性¶
基础公式¶
- 平方差： \(a^2 - b^2 = (a+b) \times (a-b)\)
- 完全平方： \((a \pm b)^2 = a^2 + b^2 \pm 2ab\)
- 完全立方： \((a \pm b)^3 = a^3 \pm b^3 \pm 3a^2b + 3ab^2\)
- 立方和差： \(a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\)
- 其他：
- \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
- \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
- \((a^m)^n = a^{mn}\)
- \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
等差数列¶
- 通项公式： \(a_n = a_1 + (n-1) \times d\)
- 求和公式： \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} \times d\)
- 奇数项等差数列： 平均数 = 等差中项 = \(\frac{a_1+a_n}{2}\)，则 \(S_n = n \times\) 等差中项 = \(n \times\) 平均数
- 若 \(m+n = k+i\)，则 \(a_m + a_n = a_k + a_i\)
【例】(2020联考) 红星中学高二年级在本次期末考试中竞争激烈，年级前七名的三科(语文、数学、英语)平均成绩构成公差为1的等差数列，第七、八、九名的平均成绩既构成等差数列，又构成等比数列，张龙位列第十，与第九名相差1分，张龙的英语成绩为121分，但老师误登记为112分。张龙的名次本该是： A. 第四 B. 第五 C. 第七 D. 第八
【解】 第1步：从a7、a8、a9入手，设第7名为a7，第8名a7q，第9名a7q² 由等差数列性质：\(2a_8 = a_7 + a_9\) 得 \(2a_7q = a_7 + a_7q^2\) \((q-1)^2=0\)， \(q=1\) \(\therefore a7=a8=a9\) 第2步：设 \(a7=a8=a9=X\)，则 \(a10=X-1\)， \(a6=X+1\)， \(a5=X+2\) 以此类推 第3步：张龙的英语成绩少了9分，则三科的平均分数少了3分 \(\therefore a10 = X-1+3 = X+2 = a5\) 答案：B
等比数列¶
- \(a_n = a_1 \times q^{n-1}\)
- \(S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)
常用数值记忆¶
1-11的立方¶
- \(1^3=1\), \(2^3=8\), \(3^3=27\), \(4^3=64\), \(5^3=125\), \(6^3=216\)
- \(7^3=343\), \(8^3=512\), \(9^3=729\), \(10^3=1000\), \(11^3=1331\)
11-19的平方¶
- \(11^2=121\), \(12^2=144\), \(13^2=169\), \(14^2=196\), \(15^2=225\)
- \(16^2=256\), \(17^2=289\), \(18^2=324\), \(19^2=361\)
四则运算¶
截位相乘¶
- 截2位，观察第3位
- 第3位 ≤ 2，第3位全舍
- 第3位 ≥ 8，第3位全进
- 其他情况，第3位一进一舍
- 【例】\(271.3 \times 4625 \approx 270 \times 4600\)
- 【例】\(278.3 \times 4695 \approx 280 \times 4700\)
- 【例】\(276.3 \times 4675 \approx 270 \times 4700\)
截位直除¶
- 截谁？ 一步除法截分母；多步除法，分子分母都截
- 截几位？
- 选项差距大，截2位：选项首位不同，前两位差超过首位数字
- 选项差距小，截3位：选项前两位差小于首位数字
尾数法¶
- 选项末尾数字不同，计算结果的末尾数字
高位叠加法¶
- 对齐数位，观察选项，从左向右算
倍数特性¶
- 题干找比例关系，化最简分数
- 如果与问题相关的涉及到多个比例关系，找**几个倍数间的最小公倍数**
- 总体倍数 = 最简比分子分母相加的和
- 解题的关键是求出比例中的 1份代表的实际值
【例1】 语文教材数是其余三种的¼，数学是其余三种的3/7，英语是其余三种的7/13，科学比数学少30本，求数学？ A. 30 B. 60 C. 100 D. 200
【解】 列出比例关系： 语文 = ¼ 其他 \(\rightarrow\) 语文 = ⅕ 总；数学 = 3/7 其他 \(\rightarrow\) 数学 = 3/10 总；英语 = 7/13 其他 \(\rightarrow\) 英语 = 7/20 总 设总 = 20X (5、10、20公倍数)，则语文=4X，数学=6X，英语=7X，科学=(20-4-6-7)X=3X 又 \(\because\) 数学-科学=6X-3X=30，则 6X=60
【例2】 某商店的利润近年来呈上涨趋势，去年的税前利润比前年增加了25%，上缴国家税利1200万元后，还余¾，那么前年的税前利润为()万元。 A. 2880 B. 3600 C. 4800 D. 3840
【解】 去年税前利润：\(1200 \div 1/4 = 4800\)万元，去年的税前利润比前年增加了25% (¼) 即 去年:前年 = (1+¼):1 = 5:4，故去年4800万元对应5份，则1份为 \(4800 \div 5 = 960\)万元 前年的利润4份，对应 \(4 \times 960 = 3840\)万元 答案：D
整除特性¶
- 若 a、b 能被 c 整除，则 a+b、a-b 也能被 c 整除
- 若一个数能被 3、9 整除，则该数的 各位数字和也能被 3、9 整除
- 若一个数能被 2 或 5 整除，则该数的 末位也能被 2 或 5 整除 若一个数能被 4 或 25 整除，则该数的 末二位也能被 4 或 25 整除 若一个数能被 8 或 125 整除，则该数的 末三位也能被 8 或 125 整除
【例】(2021国考) 某地调研人员56人分赴车站、机场、超市和学校四个区域进行卫生安全检查，其中公共卫生专业人员有62人。已知派往机场的人员是四个区域中最多的，派往车站和超市的人员中，专业人员分别占64%和65%，派往学校的人员中，非专业人员比专业人员少30%。问派往机场的人员中，专业人员的占比在四个区域中排名？ A. 第一 B. 第二 C. 第三 D. 第四
【解】 \(\because\) 去机场的人最多 去车站的专业人员 \(64\% = 16/25\) 即车站人数为25的倍数，\(\therefore\) 去车站的一定是25人 去超市的专业人员 \(65\% = 13/20\) 即学校人数是20的倍数，\(\therefore\) 去超市的一定是20人 假设专业人员有10份，则非专业人员就有7份，整体就是17份，即学校的专业人员占比为 10/17 即去机场的人数为17的倍数，同理如果学校34人，机场=(96-25-20-34)=17非最大 \(\therefore\) 去学校的一定是17人，进以求得机场的总人数和专业人数分别为34和23 然后对其比例进行比较，机场的占比排名为第一
余数特性¶
- 余同取余： 最小公倍数 + 余数 (一个数除3余1，除5余1，除6余1，则被除数为 30n+1)
- 和同加和： 最小公倍数 + 和 (一个数除7余1，除6余2，除5余3，则被除数为 210n+8)
- 差同减差： 最小公倍数 - 差 (一个数除7余5，除6余4，除3余1，则被除数为 42n-2)
02 和差倍比、不定方程与“朴实无华”的方程法¶
普通方程法¶
- 代入排除法：
- 先排除： 利用选项尾数、奇偶、倍数等特性
- 再代入： 最值原则、好算原则
- 蒙题技巧： 选项三奇一偶选其偶，选项三偶一奇选其奇；问题小往注选第二小，问最大往注选第二大
- 找等量关系 (和差倍比)：
- 设中间量： 各个量通过运算得到相同的值
- 设小不设大： 避免分数
- 求谁设谁： 避免陷阱
【例】(2021国考) 甲、乙两个单位周末分别安排60%和75%的职工下沉社区帮助困难群众，其中甲单位派出的职工比乙单位少3人，后两单位又在剩下的职工中，分别抽调40%和75%的职工，共计24人参加周末的业务培训，问甲单位职工人数比乙单位：免费学习笔记 公众号樱有尽有 A. 少三人 B. 少十一人 C. 多三人 D. 多十一人
【解】 ① \(0.6甲 - 0.75乙 = -3\) \(\rightarrow\) \(3/5甲 - 3/4乙 = -3\) ② \(2/5 \times 2/5甲 + 1/4 \times 3/4乙 = 24 / 25甲 + 3/16乙 = 24\) 甲必须得同时是3和25的倍数 (因为3/16乙和24都是3的倍数，则4/25甲也是3的倍数) 最小公倍数为75，则甲=75，乙=64，75-64=11
不定方程¶
- 未知数的个数大于方程的个数
- 解法：
- 奇偶性： 未知数前的系数存在**一奇一偶**
- 尾数性： 未知数前的系数的尾数是**0或5**
- 整除法： 未知数的系数与常数存在整除
- 代入法： 将选项代入到题目的等量关系中
【例】(2020国考) 某种产品每箱48个。小李制作这种产品，第1天制作了1个，以后每天都比前一天多制作1个。X天后总共制作了整数箱产品。问X的最小值在以下哪个范围内？ A. 在41~60之间 B. 超过60 C. 不到20 D. 在20~40之间
【解】 X天后即第X+1天，设制作了n箱，总生产的产品数量 = \((X+1)(1+X+1)/2 = 48n\) \(\Rightarrow (X+2)(X+1) = 96n\)，\((X+2)\)和\((X+1)\)必为一奇一偶，\(\because 96n = 32 \times 3n\)，32是2的5次方，其中任何一个2被拿走和3n组成一个数，96n就成了两个偶数相乘，\(\therefore\) 32一定是一个整体 \(\Rightarrow 96n = 32 \times 3n = (X+2)(X+1)\) 进而可知 n=11, X=31
不定方程组¶
- 3个未知数2个方程
- 解法：
- 加减消元法
- 特值法： 未知数有小数，设某个未知数为0 (最难算的赋0)
【例】(2019联考) 某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解】 设获得一等奖的有x人，获得二等奖的有y人，获得三等奖的有z人 ① \(9x+5y+2z=61\) ② \(x+y+z=10\) ①-②\(\times 2 \Rightarrow 7x+3y=41\) 求x最大，考虑代入法将选项从大到小带入(先代入倒数第二大)，可得当x=5时，y与z均为整数解
03 “溶质不变”的浓度问题与便捷的十字相乘法¶
浓度问题¶
- 公式：
- 浓度 = 溶质 ÷ 溶液
- 溶液 = 溶质 + 溶剂
- 解题技巧： 溶质不变法：无论溶液如何改变，溶质质量不会凭空发生改变
十字相乘法¶
- 公式：
- 溶液A浓度 R
- 混合溶液浓度
- 溶液B浓度 R
- \(\frac{R-B}{A-R} = \frac{\text{溶液A质量}}{\text{溶液B质量}}\)
- 特别提示： 凡是能表示成 A=B/C 形式的比例关系，均可看成是类浓度问题。利用十字相乘求出的比例关系一定是 C (即分母) 之比
【例】(2020山东) 由于改良了种植技术，农场2017年种植的A和B两种作物，产量分别增加了10%和25%。已知2017年两种作物总产量增加了18%，问2017年A和B两种作物的产量比为： A. 7:8 B. 8:7 C. 176:175 D. 77:100
【解】 将三R带入十字公式 A 10% ... 7 ....... 18% ..... = ⅞ B 25% ... 8 求出的是前期量之比，所以我们要用2016的比求出2017的比 \((7 \times 1.1) / (8 \times 1.25) = 77/100\)
04 古老的“牛吃草”与不变的容斥问题¶
牛吃草¶
- 基本概念：
- 假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，问，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天？
- 由于吃的天数不同，草又天天在生长的，所以**草的存量随吃的天数不断变化**。
- 干活牛专吃原有草
- 白吃牛专吃新增草
- 解题方法：
- 白吃牛 \(\rightarrow\) 求每日白吃牛消耗量 (新增草量需要多少头白吃牛消耗)
- 原有草 \(\rightarrow\) 求原有草量
- 根据问中数字求解 \(\rightarrow\) 原有草量 / (问中每日消耗量 - 白吃牛每日消耗量)
【例】(2019联考) 某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用1台挖沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【解】 白吃牛：\((300 - 2 \times 100) / (300 - 100) = 0.5\) (每日新增淤泥量需要0.5台挖沙机清理) 原有草：\((2 - 0.5) \times 100 = 150\) (原有淤泥量) 问中数字少不了：\(150 / 25 = 6\) 台干活牛，还需要 0.5 台抵消白吃牛，所以共 6.5 台，向上取整需要 7 台
容斥问题¶
- 原理： 是一种计数方式，先全部计数，再将重复部分减去，保证每人被计数一次。
- 思路： 总人数 - 圈外人数 = 圈内总人数 = 总人次 - 重复部分
【例】(2020联考) 学校有300个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或者两个小组同时参加，如果80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少： A. 240 B. 150 C. 90 D. 60
【解】 直接带入公式：\(300 = 240 + 150 - X\), \(X = 90\)
【例】(2019下半年四川) 某单位乒乓球、羽毛球、篮球三个兴趣小组共有72人参加。已知同时参加3个小组的人数为0，只参加羽毛球小组的人数是只参加乒乓球小组人数的4倍，只参加篮球小组的有11人，同时参加两个小组的人数与只参加1个小组的人数相同，参加乒乓球小组但未参加篮球小组的人中有一半参加羽毛球小组。问参加包括篮球在内的两个小组的有： A. 32人 B. 31人 C. 25人 D. 24人
【解】 只参加乒乓球小组人数：设 X 人；只参加羽毛球小组的人数：4X 人；只参加篮球小组的有 11 人 只参加 1 个小组：\((5X+11)\) 人；参加 2 个小组：\((5X+11)\) 人；参加 3 个小组：0 人 则 \((5X+11) \times 2 = 72\)，解得 X=5，参加包括篮球在内的 2 个小组：\(a+b = 72 - 20 - 5 - 5 - 11 = 31\)
05 有规律的周期循环与要算准的日期星期¶
周期循环¶
- 解题思路：
- 解题本质：去掉周期循环余数
- 最小公倍数：两个循环周期的最小公倍数
- 注意： 每5天和每隔5天 (实际为每6天) 的区别
日期星期¶
- 计算思路： 先粗算，再修正，加上日期差
- 年：
- 平年：365天 (52周+1天)
- 闰年：366天 (52周+2天)
- 四年一闰，百年不闰，四百年再闰 (可以被4整除，100的倍数不是闰年，400的倍数是闰年)
- 月：
- 大月 (1、3、5、7、8、10、12月) 31天 —— 4周余3天
- 小月 (4、6、9、11月) 30天 —— 4周余2天
- 平月 (2月) 平年28天 / 闰年29天 —— 平年2月是整4周(28天)；闰年2月是4周余1天
【例】(2018浙江事业编) 某单位有男员工15人，女员工10人，周一到周日每天晚上安排一名男员工值班，15人轮流；周六、周日白天每天安排一名女员工值班，10人轮流。A男和B女恰好分别安排在7月5日值班，若不考虑调休，则下一次两人被安排在同一天值班是： A. 9月15日 B. 10月18日 C. 11月21日 D. 12月2日
【解】 15名男员工每天值班，循环周期为15天；10名女员工每周2人值班，5周循环一次，周期为35天 两个循环的周期=最小公倍数105，约为3个半月，7月5日再过3个半月为10月+
【例】(2013国考) 根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是： A. 周一或周三 B. 周三或周日 C. 周一或周四 D. 周四或周日
【解】 8月包含4个整周，有4×5=20个工作日，余3天，其中应有2天工作日 求8月1日，将余的三天放在月初，则8月1、2、3这三天可能的组合为四五六、日一二
【例】(2022江苏) 某学者认为，人类的体力、情绪、智力自出生日起分别以22天、28天、33天为周期开始往复循环变化，前半个周期是“高潮期”，后半个周期是“低潮期”。根据该学者的观点，我们过公历生日时，体力、情绪和智力同时处于“高潮期”的最小年龄是： A. 4周岁 B. 3周岁 C. 2周岁 D. 1周岁
【解】 代入选项，问最小，从D开始，直除求得余数，余数是几即生日在一个周期的第几天 1周岁：\(365/22=16\) 余 \(13\)， \(13 > 22/2\)，不在高潮期，排除 2周岁：\(730/22=33\) 余 \(4\)， \(4 < 22/2\)；\(730/28=26\) 余 \(2\)， \(2 < 28/2\)；\(730/33=22\) 余 \(4\)， \(4 < 33/2\)，均处于高潮期 答案：C
06 熟练掌握可“轻松拿下”的工程问题¶
工程问题¶
- 核心公式： 工作量 = 效率 × 时间
- 拓展公式： 工作总量 = 效率和 × 时间 (常用干合作完工问题)
- 解题本质： 求效率，推算工作总量
题型分类¶
-
已知完工时间 \(\rightarrow\) 先设最小公倍数为工作总量，再求效率
- 【例】(2018江苏) 手工制作一批元宵节花灯，甲、乙、丙三位师傅单独做，分别要40小时、48小时、60小时完成。若三位师傅共同制作4小时后，剩余任务由乙、丙一起完成，则乙在整个花灯制作过程中所投入的时间是：
- 【解】 (1) 赋总量：将工作总量赋值为完工时间 (40/48/60) 的最小公倍数 240 (2) 求效率：甲: 240/40 = 6；乙: 240/48 = 5；丙: 240/60 = 4 (3) 列式求解：三位师傅共同制作4小时的工作量 = 效率×时间 = (6+5+4)×4 = 60。“剩余任务由乙、丙一起完成”则需要时间 t = (240-60) ÷ (5+4) = 20。20h是乙丙合作的时间，求的是乙投入的总时间 = 4+20 = 24 h
-
已知效率比例 \(\rightarrow\) 将效率比值直接当作效率，推算工作总量
- 【例】(2016国考) 某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量，晴天浇水量为阴雨天的2.5倍。灌满该装置的水箱后，在连续晴天的情况下可为植物自动浇水18天。小李6月1日0：00灌满水箱后，7月1日0：00正好用完。问6月有多少个阴雨天？
- 【解】 (1) 赋效率：晴天浇水量为阴雨天的2.5倍，则赋值晴天效率为5、阴天效率为2 (2) 求总量：在连续晴天的情况下可为植物自动浇水18天，则总量 = 18×5 = 90 (3) 列式求解：6月为30天，设其中阴天X天，则晴天为 (30-X) 天 根据题意：总量90 = 阴天浇水量 + 晴天浇水量 = 2X + 5×(30-X)，解得X = 20 天
-
已知不同安排不同完成情况 \(\rightarrow\) 列方程求效率比 & 工作总量
- 【例】(2019国考) 甲、乙两人生产零件，甲的任务量是乙的2倍，甲每天生产200个零件，乙每天生产150个零件，甲完成任务的时间比乙多2天，则甲、乙任务量总共为多少个零件？
- 【解】 \(\because\) “甲完成任务的时间比乙多2天”，设小不设大，设乙的工作时间为t天，则甲的时间是(t+2)天 列式：\(200 \times (t+2) = 2 \times 150 \times t\)，解得 t = 4天。因此乙的工作量 = 150×4 = 600个 甲的工作量 = 600×2 = 1200个，则总量 = 1200 + 600 = 1800 个
07 容易找到等式关系的利润问题¶
利润问题公式¶
- 核心公式： 售价 = 成本 (即进价) + 利润
- 拓展公式： 总成本/总利润/总销售金额 = 单个成本/单个利润/单个售价 × 数量
- 【注意】售价 \(\neq\) 定价，售价是最终出售的，定价是最初的
- 推荐解题方法： 首选方程法，时机合适也可用赋值法
特有名词¶
- 折扣： 指实际售价为原定价的几成，三折即原定价的30% (折扣和成本无关，和原定价有关)
- 【注意】折扣率指的是折扣为原定价的几成，与折扣正相反，若打三折，则折扣率为70%
- 利润率： 指的是利润占成本的比例，若成本为100，利润为30，则利润率为30%
【例】(2020北京) 某商品成本为200元，售价为292元，公司根据市场情况调整了销售方案，将售价调整为268元，预计日销量将上涨15%。现欲通过改进生产线降低成本，以保持降价前的单日利润，则单件产品的生产成本至少需要降低： A. 4% B. 5% C. 6% D. 8%
【解】 单日利润=单利×数量，设现在单利为x，赋值调整前销量为100 根据调整前后单日利润相同列式：调整前单利×调整前销量 = 现在单利×现在销量 \((292-200) \times 100 = x \times 100 \times (1+15\%)\)，解得x=80，则现在成本 = 现在售价 - 现在单利 = 268-80=188 成本降低：(现在成本-原成本) / 原成本 = (188-200) / 200 = -6%
增长率相关利润问题¶
【例】(2019联考) 2016年某电子产品定价n元/台，2017年由于技术升级成本降低，定价降低10%，每台产品利润提升10%，2017年全年销售这种产品的总利润较2016年增加了21%。那么，2017年的销量比2016年： A. 提高了不到20% B. 提高了20%或以上 C. 降低了不到20% D. 降低了20%或以上
【解】 销量=总利润/单利润，符合比值增长率 R1=21%, R2=10% 销量 R = \(\frac{R1 - R2}{1 + R2} = \frac{21 - 10}{1 + 10} = 10\%\)
分批销售利润问题¶
- 第一部分销售收入 + 第二部分销售收入 = 总销售收入
【例】(2017联考) 商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，要达到盈利45%的预期目标，剩下的衬衫最多可以降价： A. 15元 B. 16元 C. 18元 D. 20元
【解】 设所求为x，用收入列式：以原价销售所得收入 + 降价后销售所得收入 = 总收入 \(120 \times 400 + (120-x) \times (500-400) = 80 \times 500 \times (1+45\%)\)，解得 x=20
08 既烧脑又能套公式的最值问题¶
最不利问题 (抽屉原理)¶
- 解题方法： “最不利情形” + 1
- 公式： 至少有 [正常抽屉数 × (n-1) + 小抽屉数量 + 1] 人，才能保证有 n 人满足要求
- 【注】 若有不符合的情况，应先去掉
【例】(2017辽宁) 某高校举办一次读书会共有37位同学报名参加，其中中文、历史、哲学专业各有10位同学报名参加此次读书会，另外还有4位化学专业学生和3位物理专业学生也报名参加此次读书会，那么一次至少选出多少位学生，能保证选出的学生中至少有5位学生是同一专业的。 A. 17 B. 20 C. 19 D. 39
【解】 先将 小抽屉填满：4+3=7；最不利情形： 中文、历史、哲学各有4人，再多选1人则中文、历史、哲学中必有一个有5人。 合计：7+4*3+1=20
和定最值¶
- 问某部分最多，则其他部分尽量少，问某部分最少，则其他部分尽量多
- 设所求为X，除确定大小的元素外，其他元素均用X表示，X + (X+1) + (X+2) + ...... = 已知的和
【例】(2020联考) 从某物流园区开出6辆货车，这6辆车的平均装货量为62吨。已知每辆车由于载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71吨，最轻的装载了54吨。问这6辆车中装货第三重的车最少要装多少吨： A. 59 B. 60 C. 61 D. 62
【解】 设第三重装X最少，其他车尽量多装，且各不相同，根据各车装货量之和 = 总装货量 列式 \(71 + 70 + x + (x-1) + (x-2) + 54 = 62 \times 6\)，解得 x = 60 【若解得x非整数，问最少，向上取整；问最多，向下取整 (反向取整)】
函数最值¶
- 函数形式： \(y = ax^2 + bx + c\)
- 解题思路：
- 直接套公式：当 \(x = -\frac{b}{2a}\) 时，a>0，y取最小值；a<0，y取最大值
- 利用均值定理：a+b为定值，当a=b时，ab最大
- 利用中点最值特性：当y=0时，得抛物线与x轴两交点 \(x_a\)、 \(x_b\)，当 \(x = \frac{x_a+x_b}{2}\) 时，y取最值
乘积最值¶
- 解题思路： 类似天平，砝码总量一定，要想天平左侧砝码最多，需天平左侧力臂尽量短；天平右侧砝码最少，需天平右侧力臂尽量长
- 一般所列方程为 “a1 \times b1 + a2 \times b2 = 总和” 的形式
- 要想 a1 最多，b1 应尽量接近平均值，b2 应尽量远离平均值
【例】 某班级有30人，平均分为70分，所有人得分为整数，不及格的人数最多有多少人？ 【解】 不及格人数 × 平均分1 + 及格人数 × 平均分2 = 30 × 70，要想不及格人数最多，其平均分应尽量接近总平均分，则让不及格的学生都考59分；及格人数尽量少，其平均分应尽量远离总平均分，则让及格学生都考100分；设不及格人数最多为X人，及格人数为(30-X)人，可有：\(59X + 100 \times (30-X) = 2100\)，解得X=21.95，即不及格人数最多有21人 (此步骤也采用十字相乘法)
三端最值¶
- 解题思路： 要想两端的某一端最多/少，则 两端都应尽量多/少
【例】 有80%、50%、20%浓度盐水各100g，想配成50%浓度盐水100g，最多可使用多少80%浓度盐水？ 【解】 要想80%浓度盐水最多，80%、20%浓度盐水都应尽量多，50%浓度盐水尽量少，其最少可取0 设80%浓度盐水最多可使用Xg，则20%浓度盐水可使用(100-X)g 则有 \(0.8X + 0.2 \times (100-X) = 50\% \times 100\)，解得X=50g (此步骤也可采用十字相乘法)
09 “逢考必有”的排列组合与概率¶
排列组合¶
- 排列 (\(A_n^m\))： 从n个不同元素中，取m个进行排序，所有的特定情况数。
- \(A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)\)
- 组合 (\(C_n^m\))： 从n个不同元素中，取m个，所有的特定情况数。
- \(C_n^m = \frac{n!}{(n-m)!m!} = \frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m(m-1)...2 \times 1}\)
- 加法原理： 分类计算。确定工作的分类方法，完成该工作不需要使用所有方法，选一即可。
- 乘法原理： 分步计算。确定工作的完成步骤，完成该工作需要做完所有步骤，缺一不可。
- 解题原则：
- 有序为排列，无序为组合
- 分类用加法，分步用乘法
- 从特殊入手，全部减不符 (※至少、否定都是提示语)
【例1】(2020北京) 某家电维修公司的职工每人每天最多完成5次修理任务。维修工小张上个月工作了20天，总计完成修理任务98次。则他上个月每天完成的修理任务次数有多少种不同的可能？ A. 190 B. 210 C. 380 D. 400
【解】 如果每天都完成5次，二十天会完成100次，题干说完成98次，故有两天未完成5次。可能有一天少完成2次(完成3次)或有两天少完成1次(完成4次) \(C_{20}^1 + C_{20}^2 = 20 + 190 = 210\)
【例2】(2019辽宁) 某科院准备挑选2男2女4名科技人员分别去市郊的甲乙丙丁4个乡参加科技支农工作，在报名的人员中有3男4女符合要求，在4名女性中有1位是农科院的副院长，考虑到工作的具体需要，这名副院长不去甲乡，且去丁乡的是女性。符合条件的选法有____种。 A. 198 B. 216 C. 378 D. 432
【解】 “副院长不去甲乡”是一个否定，正面想比较复杂，故用逆向思维，即 全部 - 不符 全部：“去丁乡的是女性” \(\rightarrow\) 从4个女性中挑1个 \(C_4^1=4\)，剩下2男1女分配到甲乙丙 \(\rightarrow C_3^1 \cdot C_3^2 \cdot A_3^3=54\)， \(4 \times 54 = 216\) 不符：“副院长去甲” \(\rightarrow\) 剩余3女选1去丁，3男选2分配到乙丙 (2男全排列) \(C_3^1 \cdot C_3^2 \cdot A_2^2 = 18\) 符合条件 = 全部 - 不符 = 216 - 18 = 198
概率问题¶
- \(P = \frac{\text{符合要求的情况数}}{\text{所有可能的情况数}}\)
- 常与排列组合结合考察，本质仍是考察排列组合知识点
- 几何概型：
- 某些时候，情况数为无穷多个，无法通过计数的办法来计算情况数，可以使用区域面积或长度来计算概率。
- \(P(A) = \frac{\text{构成事件A的区域长度/面积/体积}}{\text{试验的全部结果所构成的区域长度/面积/体积}}\)
- 【例】十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒、绿灯亮25秒，黄灯亮5秒。当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少？
- 【解】抬头看信号灯时，可能是第1秒、第5.1秒...无法计数，我们可以将每分钟的时长看成长度为60，绿灯亮的长度为25，则 P=25/60
排列组合与概率的八种特殊情形¶
- 相邻问题 \(\rightarrow\) 捆绑法：总元素个数发生改变，捆绑在一起的元素要 考虑内部排序
- 不相邻问题 \(\rightarrow\) 插空法：先将无位置要求的人排列好 (需要注意是否有顺序)，再将“不相邻”的元素插入无位置元素形成的“空位”中 (插入时也需注意是否有顺序)
- 注意： 审题时要确定是否要排序 (含两端位置n+1个空，不含两端位置n-1个空)
- 定序问题 \(\rightarrow\) 全排列 ÷ \(A_n^n\)
- 思路：1. 先全排列 2. 再除排除序元素的全排列
- 这两个元素的顺序已经确定，全排列时对这些元素的排列就不需要了，这两个元素一样，无需排列
- 相同元素分配 \(\rightarrow\) 插板法
- 插板法使用的完美条件： ① 元素相同 ② 每份至少分得一个元素
- 注意： 一定是元素相同，当不满足“每份至少一个”的条件时，需要构造条件
- 平均分组 \(\rightarrow\) 无顺序：平均分成的组，易加入一个顺序，但不管它的顺序如何，都是一种情况。分组后要除以 \(A_n^n\) (n为均分的组数)
- 有顺序：先除以 \(A_n^n\) (n为均分的组数)，再乘以 \(A_m^m\) (m按顺序分组的组数)
- 错位排序：只记“一、二、三、四、五、六”个元素错位排序，各有 0、1、2、9、44、265 种情形即可
- 环形排列 \(\rightarrow\) \(A_{n-1}^{n-1}\)：环形排列与线性排列不同，n个不同元素做环形排列，共有排法 \(A_{n-1}^{n-1}\)
- 重复排列：n个不同元素，可重复的取m次，共有 \(n^m\) 种情形
两人同组概率¶
- 无需关注第一人，第一人无论在哪，只需第二人与第一人在一组即可
- 【例1】某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：
- 【解】 小张选定位置之后，还剩39个位置可选，小李必须和小张同排，有7个位置可选，概率 = 7/39 = 17.9%
10 小学奥数之特殊情景应用题¶
鸡兔同笼¶
- 解题思路：
- 假设都做对或都赚到，已知条件中包括“单只腿数”和“总腿数”
- 做错数量 = (理想情况 - 现实情况) / 单个差值
- 常见考题类型： 工资报酬、考试对错题得分
盈亏问题¶
- 解题思路：
- 盈就是有余，亏就是不足的意思
- 一盈一余型：对象数 = 盈亏数和 / 分配标准差 (非“一盈一余”调整为“一盈一余”再解题)
年龄问题¶
- 解题思路：
- 无论时间如何改变，年龄差不变
- 时间改变，年龄增量相同
- 爷爷奶奶年龄多在60+，父母在30-40，儿女在0-10
- 常见年龄平方数：64、36、9
方阵问题¶
- 公式：
- 方阵总人数 = 最外层边长平方
- 层数 = 最外层边长 ÷ 2
- 每层人数 = 该层每边人数 × 4 - 4 (有四个重叠点)
- 内层比外层少 8 个元素，边长少 2
- 一般没明确方阵都默认为正方形
11 要抓住常考图形的几何问题¶
平面图形 (面积 & 备注)¶
- 三角形： \(S = \frac{1}{2}ah\) (任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边)
- 长方形： \(S = ab\)
- 正方形： \(S = a^2\)
- 平行四边形： \(S = ah\) (n边形内角和 \((n-2) \times 180^\circ\)，外角和恒足 \(360^\circ\))
- 梯形： \(S = \frac{1}{2}(a+b)h\)
- 菱形： \(S = \frac{1}{2}ab\) (对角线乘积的一半)
- 圆： \(S = \pi r^2\) (周长 \(2\pi r\))
- 扇形： \(S = \frac{1}{2}lr = \frac{n}{360} \pi r^2\) (弧长 \(l = \frac{n}{180} \pi r\))
立体图形 (表面积 & 体积)¶
- 长方体： \(S = 2(ab+ac+bc)\), \(V = abc\)
- 正方体： \(S = 6a^2\), \(V = a^3\)
- 球体： \(S = 4\pi r^2\), \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)
- 圆柱体： \(S = 2\pi r^2 + 2\pi rh\), \(V = \pi r^2 h\)
- 圆锥体： \(S = \pi r^2 + \pi rl\), \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)
常考图形特性¶
- 正六边形： 可分割成6个正三角形，七枚硬币的放法
- 正三角形： 可分割成2个30、60度直角三角形，面积公式
- 圆： 直径两端点与圆上任意一点连线为直角三角形，扇形面积公式、弧长长度公式
- 矩形： 正方形为特殊矩形，周长一定正方形面积最大
- 直角三角形：
- 30、60度直角三角形 (三边之比为 \(1:2:\sqrt{3}\))
- 等腰直角三角形 (三边之比为 \(1:1:\sqrt{2}\))
- 345直角三角形 (最常见勾股数)
- \(\sqrt{2}\) 取值 1.414, \(\sqrt{3}\) 取值 1.732, \(\sqrt{5}\) 取值 2.236
几何等比放缩¶
- 若边长(或半径)为N倍，则周长也为N倍，面积为 \(N^2\) 倍，体积为 \(N^3\) 倍
几何最值¶
- 周长一定，越接近圆，面积越大；反之，面积一定，越接近圆，周长越小
- 表面积一定，越接近球，体积越大；反之，体积一定，越接近球，表面积越小
- 【最常考性质】 周长一定，矩形中正方形面积最大
- 【长方体切割最值性质】 从长方体最长边开始，沿侧面对角线切割，形成的切面周长、面积均最大
最短距离¶
- 两点之间直线最短、点到直线距离垂线最短 (利用对称构造最短距离)
12 能“七十二变”的行程问题¶
普通行程¶
- 公式： 路程 = 速度 × 时间 (\(s=vt\))
- 单位换算： \(1 m/s = 3.6 km/h\)
等距离平均速度¶
- 公式： \(\bar{v} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\)
- 【注】 若v1和v2大小不同，则 等距离平均速度的值略小于平均数 \(\frac{v_1+v_2}{2}\)
相遇追及¶
- 相遇距离 = 速度和 × 相遇时间 (相遇要找相遇点)
- 追及距离 = 速度差 × 追及时间 (追及要找距离差)
- 多次相遇： 若全程为S，第N次相遇，二人的距离和为 \((2N-1) \times S\)
- 环形运动：
- 同一位置出发的环形相遇问题：N次相遇会走完N个圆周长
- 同一位置出发的环形追及问题：追上N次代表超过N圈，追及距离为 N个圆周长 (同位置出发，A追上B时需要多跑一圈)
- ★ 非同一位置出发，需构造成同一位置出发
流水行船¶
- 顺水速度 = 船速 + 水速
- 逆水速度 = 船速 - 水速
- 漂流：船速 = 水速
上下扶梯¶
- 公式：
- 顺行扶梯长度 = (人速 + 电梯速度) × 顺行时间
- 逆行扶梯长度 = (人速 - 电梯速度) × 逆行时间
- 本质是变形的行船问题
- 顺行扶梯级数 = 人走过的梯级数 + 扶梯运行梯级数
- 逆行扶梯级数 = 人走过的梯级数 - 扶梯运行梯级数
火车过桥¶
- 火车完全过桥： 桥长 + 车身长度 = 速度 × 时间
- 火车完全在桥上： 桥长 - 车身长度 = 速度 × 时间
队伍行进¶
- 队头 \(\rightarrow\) 队尾： 队伍长度 = (人速 + 队伍速度) × 时间
- 队尾 \(\rightarrow\) 队头： 队伍长度 = (人速 - 队伍速度) × 时间
13 数字推理¶
基础数列¶
- 等差数列： 1, 6, 11, 16, 26 (公差为5)
- 等比数列： 3, 6, 12, 24, 48 (公比为2)
- 质数数列合数数列：
- 13, 17, 19, 23, 29, 31
- 8, 9, 10, 12, 14, 15
- ① 1、0非质非合 ② 2是唯一偶质数 ③ 0的任何次方都是0 ④ 任何数的0次方都是1
- 数字循环数列 / 符号循环数列： 1, 5, 1, 5, 1, 5 / 1, -2, 3, -4, 5
- 递推和/差/积/商数列：
- \(A3 = A1 + A2 \rightarrow 1, 2, 3, 5, 8, 13\)
- \(A3 = A1 - A2 \rightarrow 21, 13, 8, 5, 3, 2\)
- \(A3 = A1 \times A2 \rightarrow 1, 2, 2, 4, 8, 32\)
- \(A3 = A1 \div A2 \rightarrow 256, 32, 8, 4, 2, 2\)
无特征数列¶
- 看单调性，趋势
- 变化较小
- 优先做差： 无规律二次做差
- 做和
- 加法递推： 无规律两项、三项递推
- 变化较大
- 倍数明显： 做商 (商为常数/商有规律)
- 乘法递推
- 次方明显 (底数质数一起变)
- 修正
- 趋势忽大忽小 (W、M形)
- 优先做和： 二次、三次做和或二次做差
- 递推： 无规律两项、三项递推
- 变化较小
特征数列¶
- 多重数列： 数项较多 (\(\ge 7\)项，包含所求项)
- 先交叉： 奇偶项分开看
- 再分组： 两两分组 (8项或10项)；三三分组 (9项或12项)
- 机械拆分数列：
- 全是小数： 整数部分单独看，小数部分单独看
- 大数字多：
- 拆：所有数字加和 (\(333 -- 9\))
- 拆成几部分，分别找内部规律或外部规律 (三位数：一一分组；四位数：两两分组)
- 分数数列：
- 分子分母趋势相同：先分开看分子、分母，再整体看相邻的分数间是否有联系
- 分子分母趋势不同：通分/反约分
- 幂次数列：
- 普通幂次：直接转化找规律
- 修正幂次：转化为普通幂次 \(\pm\) 修正项，再找规律
- 出现少量 1/a 类型的分数，考虑负幂次 \(\frac{1}{a} = a^{-1} (a \neq 0)\)
- 根式数列：
- 统一标准：均化为根号内
- 去根号运算
- 加根号选答案
- 图形数列：
- 有中心凑中心：多为三角形/圆形
- 优先考虑对角线成组后进行四则运算
- 按行按列凑大数：多为方阵图形