数量关系¶
一、和差倍比与方程法¶
找最小公倍数设同一个未知数
普通方程¶
-
找等量关系 (和差倍比)：
- 设中间量： 各个量通过运算得到相同的值
- 设小不设大： 避免分数
- 设未知数：求谁设谁，如果问的是倍数关系，将分母设为 1
-
代入排除法：
- 先排除： 利用选项尾数、奇偶、倍数等特性
- 再代入： 最值原则、好算原则
- 蒙题技巧： 选项三奇一偶选其偶，选项三偶一奇选其奇；问题小往注选第二小，问最大往注选第二大
不定方程¶
-
未知数的个数大于方程的个数
- 奇偶性： 未知数前的系数存在 一奇一偶
- 尾数性： 未知数前的系数的尾数是 0或5
- 倍数法： 未知数的系数与常数存在整除
- 代入法： 将选项代入到题目的等量关系中
-
不定方程组
- 加减消元法
- 特值法：未知数有小数，设某个未知数为0 (最难算的赋0)
二、工程问题¶
- 核心公式：工作量 = 效率 × 时间
- 拓展公式：工作总量 = 效率和 × 时间 (常用干合作完工问题)
- 解题本质：求效率，推算工作总量
已知完工时间¶
甲需要多少时间，乙需要多少时间，甲乙合作需要多少时间...
- 设最小公倍数为工作总量，再求效率
已知效率比例¶
- 将效率比值直接当作效率，推算工作总量
已知不同完工情况¶
甲先做多少天，乙做多少天，能够完成多少...
- 列方程求效率比 & 工作总量
三、整除问题和合作完工问题¶
利用倍数特性解不定方程¶
- ...占比... ,...占比...
- \(y=\frac{A}{B}x\) → x 是 B 的倍数，y 是 A 的倍数
整除特性¶
- 若 a、b 能被 c 整除，则 a+b、a-b 也能被 c 整除
- 若一个数能被 3、9 整除，则该数的 各位数字和也能被 3、9 整除
- 若一个数能被 2 / 4 / 8 整除，则该数的 末位/末二位/末三位 也能被 2 / 4 / 8 整除
- 若一个数能被 5 / 25 / 125 整除，则该数的 末位/末二位/末三位 也能被 5 / 25 / 125 整除
- 多个数相乘看因子
22 × 23 × 24 (3 * 8) → 能被 3,8... 整除
24 × 27 (3 × 9) → 能被 3,9,...整除
合作完工问题¶
- 中途有人休息，看工作的人
- 中途没人休息，只是换地方干，则：\(\frac{总工作量}{总效率}=总时间\)
四、余数、平方数与等差数列¶
数列基础知识¶
一般考等差数列，注意奇数项找 中间项
数列常考公式：
| 通项公式 | 求和公式 | |
|---|---|---|
| 等差数列 | \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) | \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\) |
| 等比数列 | \(a_n = a_1 \times q^{n-1}\) | \(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\) |
数列常见性质：
| 性质 | |
|---|---|
| 等差数列 | 一、若是奇数项等差数列，则 \(平均数=等差中项，S_n=n×等差中项；\) \(等差数列的平均数=\frac{a_1+a_n}{2}\)； 二、若 m+n=k+i，则 \(a_m + a_n = a_k + a_i\)。 |
| 等比数列 | 一、若 \(a_{n-1}, a_n, a_{n+1}\) 成等比数列，则 \(a_n^2 = a_{n-1} a_{n+1}\)； 二、若 m+n=k+i，则 \(a_m a_n = a_k a_i\)。 |
平方数问题¶
常见平方数
- \(11^2=121\), \(12^2=144\), \(13^2=169\), \(14^2=196\), \(15^2=225\)
- \(16^2=256\), \(17^2=289\), \(18^2=324\), \(19^2=361\)
余数问题¶
余同加余，和同加和，差同减差
| 特征 | 余同 余数相同 |
和同 除数与余数的和相同 |
差同 除数与余数的差相同 |
|---|---|---|---|
| 口诀 | 余同取余 | 和同加和 | 差同减差 |
| 被除数 | 最小公倍数+余数 | 最小公倍数+和 | 最小公倍数-差 |
| 实例 | “一个数 除3余1， 除5余1， 除6余1” 则被除数为 30n+1 |
“一个数 除7余1， 除6余2， 除5余3” 则被除数为 210n+8 |
“一个数 除7余5， 除6余4， 除3余1” 则被除数为 42n-2 |
五、容斥问题¶
代入公式¶
总人数 - 都不 = 总人次 - 重复部分
报两项的有多少人，报三项的有多少人，只报两项的有多少人... (0 项 + 1 项 + 2 项 + ... = 总人数)
最值思想¶
两个未知数一个方程，根据最大最小确定唯一解
画图解决¶
条件给的比较碎，画图找到等量关系
六、溶液问题与十字交叉法¶
溶液问题¶
- 公式：
- 浓度 = 溶质 ÷ 溶液
- 溶液 = 溶质 + 溶剂
- 纯浓度问题(如：盐水、酒精、xx 溶液...)
- 抓住 溶质不变：无论溶液如何改变，溶质质量不会凭空发生改变
十字交叉法¶
溶液A浓度 R，混合溶液浓度，溶液B浓度 R
\(\frac{R-B}{A-R} = \frac{\text{溶液A质量}}{\text{溶液B质量}}\)
- 类浓度问题（如：平均分、平均 xx、增长率...）
- \(A=\frac{B}{C}\) → 代入 A 求出来的是 C 的比
- 求什么就把什么放到分母
- 混合思想：部分 1 浓度 < 整体浓度 < 部分 2 浓度
七、经济利润问题¶
基础题型¶
- 常用公式：
- 售价 = 成本(即进价) + 利润
- 利润率 = 利润/收入
- 总成本/总利润/总销售金额 = 单个成本/单个利润/单个售价 × 数量
- 【注意】售价 \(\neq\) 定价，售价是最终出售的，定价是最初的
- 解题方法：找等式关系列方程
- 其他名词
- 折扣：指实际售价为原定价的几成，三折即原定价的30% (折扣和成本无关，和原定价有关)
- 【注意】折扣率指的是折扣为原定价的几成，与折扣正相反，若打三折，则折扣率为70%
- 利润率：指的是利润占成本的比例，若成本为100，利润为30，则利润率为30%
- 折扣：指实际售价为原定价的几成，三折即原定价的30% (折扣和成本无关，和原定价有关)
阶梯计费¶
分段计费，可列方程解（也可画线段辅助）
分批销售¶
先按照某个价格售卖多少，再按照某个价格售卖多少...
- 设未知数：问什么设什么（若问 A 是 B 的多少倍，可设 B 为 1）
- 解题方法：用每一批的收入列方程（较为固定）
- 公式：\(第一批收入 + 第二批收入 + ... = 总收入 = 总成本 + 总利润\)
八、经济利润之函数最值、增长相关¶
函数最值¶
增长率相关¶
九、和定最值与最不利极限题¶
和定最值¶
最不利极限题¶
反向构造¶
十、周期循环与日期星期问题¶
周期循环¶
日期星期问题¶
利用“唯一性”确定星期日期¶
十一、平面几何问题¶
几何问题常见公式
1、平面图形
| 平面图形 | 图示 | 周长 | 面积 |
|---|---|---|---|
| 正方形 | [图：正方形，边长a] | \(4a\) | \(S_{正方形} = a^2\) |
| 长方形 | [图：长方形，长b宽a] | \(2(a + b)\) | \(S_{长方形} = ab\) |
| 三角形 | [图：三角形，底a，高h，边b, c] | \(a + b + c\) | \(S_{三角形} = \frac{1}{2} a \times h\) |
| 正三角形 | [图：正三角形，边长a，高h] | \(3a\) | \(S_{正三角形} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{边长} \times \text{边长}\) |
| 圆形 | [图：圆，半径r] | \(2\pi r\) | \(S_{圆形} = \pi r^2\) |
| 扇形 | [图：扇形，半径r，圆心角n] | 弧长 \(= \frac{n}{360^{\circ}} \times \text{圆周长} = \frac{n \pi r}{180^{\circ}}\) n为圆心角 |
\(S_{扇形} = \frac{n}{360^{\circ}} \times \text{圆面积} = \frac{n \pi r^2}{360^{\circ}} = \frac{lr}{2}\) l为弧长 |
| 梯形 | [图：梯形，上底b，下底a，高h] | \(a + b + c + d\) | \(S_{梯形} = \frac{(\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高}}{2}\) |
| 平行四边形 | [图：平行四边形，底a，邻边b，高h] | \(2a + 2b\) | \(S_{平行四边形} = ah\) |
| 菱形 | [图：菱形，边长a，对角线A, C] | \(4a\) | \(S_{菱形} = \frac{\text{对角线} \times \text{对角线}}{2}\) |
2、立体图形
| 立体图形 | 图示 | 表面积 | 体积 |
|---|---|---|---|
| 正方体 | [图：正方体，边长a] | \(6a^2\) | \(a^3\) |
| 长方体 | [图：长方体，长a宽c高b] | \(2(ab + ac + bc)\) | \(abc\) |
| 球体 | [图：球体，直径D，半径r] | \(4\pi r^2 = \pi D^2\) (D是直径) |
\(\frac{4}{3}\pi r^3\) |
| 圆柱体 | [图：圆柱体，底半径r，高h] | \(2\pi r^2 + 2\pi rh\) | \(\pi r^2h\) |
| 圆台 | [图：圆台，上半径r，下半径R，母线l] | \(\pi r^2 + \pi R^2 + \pi rl + \pi Rl = \pi(r^2 + R^2 + rl + Rl)\) \(l = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}\) h为圆台高 |
\(\frac{1}{3}\pi h(r^2 + Rr + R^2)\) r是小圆半径，R是大圆半径 |
| 圆锥 | [图：圆锥，底半径r，母线l] | \(\pi r^2 + \pi rl\) | \(\frac{1}{3}Sh\) S为底面积 |
| 棱锥 | [图：四棱锥，高h] | 侧面积+底面积 | \(\frac{1}{3}Sh\) S为底面积 |
平面几何之三角形：特殊直角三角形、勾股定理、特殊勾股数、相似三角形、等底等高等¶
平面几何之其他：圆形、扇形、正方形长方形等¶
十二、立体几何与特殊几何问题¶
立体几何之表面积¶
立体几何之体积¶
等比放缩¶
几何最值¶
最短路径¶
第十三讲 基础排列组合¶
基础排列组合：**¶
有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊殊入手，全部减不符